ビーズミルの撹拌動力^1）

ビーズミルの撹拌動力 P [W] を予測･推測することはビーズミルの設計の基本で、アジテータの回転数 n [1/s] と撹拌トルク T [N] より、式1で定義される。

また、P、n およびアジテータ径 D [m] から動力数 N_p [-] が定義され、この値はビーズミルのタイプ、ビーズの種類、スラリーの流動特性ならびに操作条件によって決まる。

ここで、ρ_GM [kg/m³] はビーズ密度である。撹拌動力はアジテータ径の5乗、回転数は3乗で影響するため、径の大きさを変えて周速を合わせる場合はアジテータ径がビーズミルの撹拌動力に対して大きな因子となる^2）。
一般に動力数 N_P は、式3に示すレイノルズ数 Re [-] と式4に示すフルード数 Fr [-] の関数で表される。

ニュートン流体と見なせる(媒体+スラリー)系で、層流域で粉砕される場合は、

が成り立つ。しかし、実際の粉砕は乱流域で非ニュートン流体のため、

となる。ここで、g [m/s²] は重力加速度、c₁ [-] はアジテータ形状に依存する定数、c₂ [-]は定数、 α [-] はアジテータのせん断速度定数、β [-] は流動指数である。この関係はスケールアップにも適応できるといわれている。
ビーズミルのアジテータ形状によっても動力に違いがあり、回転数とスラリーの密度や粘度も動力に大きな影響を与える。

比エネルギーと撹拌動力の関係^1）

ミル内粒子体積当りの撹拌エネルギー（比エネルギー）E_V [J/m³] と撹拌動力 P との間には式7が成り立つ。

ここで、V_S [m³] はミル内の粒子体積、U_SUSP [m³/s] はスラリーの流動速度、C_V [-] は固体容積濃度、t [s] は粉砕時間である。ただし、これらの相関式の適用範囲は30 < E_V < 6000となっている。
また、単位体積当たりの増加比表面積⊿S [1/m] と E_V との間には一定の関係が成り立ち、

E_A [m²/J] は粉砕効率となる。
式7と式8から、比エネルギーや比表面積の増加（砕製物の微細化）にも撹拌動力が影響し、結果としてアジテータ径が影響することになる。

媒体撹拌ミルの撹拌動力式例

媒体撹拌ミルは通常容器の形状により、塔型、撹拌槽型、流通管型、アニュラー型などに分けられる。ここでは撹拌バータイプと横型ビーズミルの撹拌動力について考える。

1. 撹拌槽型における撹拌バータイプの撹拌動力式^3）

撹拌槽型では撹拌バーの取付け方によって高効率化を図ったり、磁力を負荷して粉砕特性を向上させるなどの工夫がなされている。
撹拌槽型における撹拌バータイプの撹拌動力式 P_a [W] には、粉砕媒体のかさ密度 ρ_b [kg/m³]、アームの本数 N_a [‐]、アームの直径 d_a [m]、アームの長さ l_a [m]、アームの先端速度 V_a [m/s] を用いて、式9が提案されている。

C_D は抵抗係数 [‐] で式10のように示され、粉砕媒体の仕込み高さ H [m]、重力加速度 g [m/s²]、基準タンク径 D₀ [m]、タンク径 D_L [m]、アーム長さ l_a [m] を用いて、フルード数の関数（式11）として表現される。

2. 横型ビーズミルの撹拌動力式^2）4）

Stehrらは横型ビーズミルを用いて異なる実験式で多くの実験を行い、撹拌動力 P_s [kW] について、アジテータ径 D [m]、回転数 n [1/s]、スラリー密度 ρ_SUSP [g/cm³]を用いて、実験相関式12を得ている。

よって、ビーズミルの撹拌動力においては、アジテータ径の影響が大きいことがわかる。

まとめ

撹拌動力からビーズミルの粉砕・分散への影響を検討すると、アジテータ径が動力に大きく影響していることが分かる。大型化する際はアジテータ径が大きくなるためモータの選定や冷却と発熱を考慮した運転条件が必須となる。